1.4. Характеристики движения жидкостей. Уравнение неразрыв­ности. Уравнение Бернулли, примеры его приложения

Характеристики движения жидкостей.

Течение жидкости может быть неустановившимся (нестационарным) или установившимся (стационарным).

Неустановившееся движение – такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени изменяются, т.е. w и P зависят не только от координат точки в потоке, но и от момента времени, в который определяются характеристики движения.

Примером неустановившегося движения может являться вытекание жидкости из опорожняющегося сосуда, при котором уровень жидкости в сосуде постепенно меняется (уменьшается) по мере вытекания жидкости.

Установившееся движение – такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени не изменяются, т.е. w и P зависят только от координат точки в потоке, но не зависят от момента времени, в который определяются характеристики движения.

Пример установившегося движения - вытекание жидкости из сосуда с постоянным уровнем, который не меняется (остаётся постоянным) по мере вытекания жидкости.

В случае установившегося течения в процессе движения любая частица, попадая в заданное, относительно твёрдых стенок, место потока, всегда имеет одинаковые параметры движения. Следовательно, каждая частица движется по определённой траектории.

Траекторией называется путь, проходимый данной частицей жидкости в пространстве за определенный промежуток времени.

При установившемся движении форма траекторий не изменяется во время движения. В случае  неустановившегося движения величины направления и скорости движения любой частицы жидкости непрерывно изменяются, следовательно, и траектории движения частиц в этом случае также постоянно изменяются во времени.

Поэтому для рассмотрения картины движения, образующейся в каждый момент времени, применяется понятие линии тока.

Линия тока-  это кривая, проведенная в движущейся жидкости в данный момент времени так, что в каждой точке векторы скорости w_i совпадают с касательными к этой кривой.

 Нужно различать траекторию и линию тока. Траектория характеризует путь, проходимый одной определенной частицей, а линия тока направление движения в данный момент времени каждой частицы жидкости, лежащей на ней.

При установившемся движении линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости. При неустановившемся движении они не совпадают, и каждая частица жидкости лишь один момент времени находится на линии тока, которая сама существует лишь в это мгновение. В следующий момент  возникают другие линии тока, на которых будут располагаться другие частицы.

Установившееся движение подразделяется на равномерное и неравномерное.

Равномерное движение характеризуется тем, что скорости, форма и площадь сечения потока не изменяются по длине потока. Неравномерное движение отличается изменением скоростей, глубин, площадей сечений потока по длине потока.

Уравнение неразрывности

Скорость движения частиц жидкости неодинаковы по сечению ее потока. Поэтому вводится понятие о средней скорости потока всех частиц жидкости в сечении.

  Допустим, что в сечении I-I трубы (рис. а) все частицы имеют среднюю скорость w, тогда за единицу времени они пройдут путь, равный w, и переместятся в сечение II-II. Объем жидкости, протекающей в ед. времени через сечение I-I , будет равен V, заключенному между сечениями I-I и II-II, т.е. произведению средней скорости w на площадь поперечного сечения S потока.

Это произведение представляет собой объемный расход жидкости:

V=wS [м³/с] – уравнение расхода, где w-линейная скорость (путь, проходимый жидкостью в ед. времени)

откуда w=V/S [м/с]

Массовая скорость W представляет собой количество жидкости, протекающее через ед. поперечного сечения потока, в ед. времени, и определяется из соотношения:

W=G/S [кг/м²с] где G – массовый расход жидкости [кг/c]

W=wρ – зависимость м/д массовой и линейной скоростью.

Если скорость частиц жидкости не изменяются во времени, ее движение считается установившимся. При установившемся движении в каждом сечении потока постоянны не только скорость, но и расход, температура, давление и плотность жидкости. Вместе с тем при установившемся движении скорости потока могут изменяться в пространстве, при переходе жидкости от одного сечения к другому.

 

Рассмотрим установившееся движение жидкости, ограниченной стенками любой формы, например движение в трубе переменного сечения (рис. б). Движущаяся жидкость сплошь заполняет трубу, в которой, таким образом, нет пустот и разрывов потока. При переходе от сечения S₁ к сечению S₂ скорость жидкости будет изменяться, но по закону сохранения ве-ва кол-во жидкости, поступающей в ед. времени через сечение S₁, будет равно кол-ву ее, протекающему через сечение S₂, т.е. расход жидкости останется постоянным. В том случае, если эти кол-ва не были бы равны, жидкость накапливалась бы в трубе, м/д сечениями S₁ и S₂, и здесь происходило бы возрастание ее плотности и давления, что при установившемся движении невозможно.

Принимая массовые скорости жидкости в сечениях S₁ и S₂ равным соответственно W₁ и W₂, можно написать

G=S₁W₁=S₂W₂=S₁w₁ρ₁=S₂w₂ρ₂=const

где ρ_1, ρ₂-плотность жидкости в сечениях S₁ и S_2.

Для несжимаемой жидкости ρ₁=ρ₂ и уравнение принимает вид

V=S₁w₁=S₂w₂=const

Данное уравнение представляет собой материальный баланс потока жидкости и называются уравнение неразрывности потока.

Согласно этим уравнениям, средние скорости жидкости в различных сечениях трубопровода обратно пропорциональны площадям этих сечений. Произведение скорости на сечение, т.е. расход жидкости при установившемся движении, есть величина постоянная.

Уравнение Бернулли, примеры его приложения.

При движении по трубопроводу без дополнительного подвода энергии или ее отвода удельная энергия жидкости, по закону сохранения энергии, не будет изменяться. Поэтому при перемещении жидкости от некоторого сечения I-I до сечения II-II удельные энергии жидкости в этих сечениях будут одинаковы:

u₁ + p₁v₁ + gz₁ + w₁²/2 = u₂ + p₂v₂ + gz₂ + w₂²/2

u – внутренняя энергия, v – скорость.

Уравнение, выражающее энергетический баланс движущейся идеальной жидкости (рис. а):

z₁ + p₁/ρg + w₁²/2g = z₂ + p₂/ρg + w₂²/2g    - Уравнение Бернулли

z – потенциальная энергия положения жидкости – геометрический напор

p/ρg – потенциальная энергия давления жидкости [м] -  скоростной напор

может быть измерена вертикальной пьезометрической трубки, под действием давления жидкость поднимается на высоту h= p/ρg, которая называется пьезометрическим (статическим) напором.

w²/2g – удельная кинетическая энергия движущейся жидкости [м]

При движении идеальной жидкости сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров во всех сечениях потока явлю постоянной величиной.

 

Для реальной жидкости, при переходе от сечения I-I до сечения II-II (рис. б) часть удельной энергии будет расходоваться на преодоление трения и др. сопротивлений. Потерянная энергия превращается в тепло, вследствие чего увеличивается внутренняя энергия жидкости (при отсутсв. обмена с окруж. средой):

z₁ + p₁/ρg + w₁²/2g = z₂ + p₂/ρg + w₂²/2g + h_п

где h_п=(u₂-u₁)/g – потерянный напор

При установившемся движении реальной жидкости сумма геометрического, пьезометрического, скоростного и потерянного напора в каждой точке любого сечения потока является постоянной величиной.

Сумма геометрического, пьезометрического, скоростного напоров называется гидродинамическим напором.

Гидродинамический напор реальной жидкости уменьшается в направлении ее движения на величину напора, потерянного между начальным и конечным сечениями потока.

Пользуясь уравнением  Бернулли, определяют скорость и расход жидкости, т.е. пропускную способность аппаратов и трубопроводов. При помощи этого ур-я рассчитывают также время истечения жидкости и ее полный напор.